Portail événementiel de l'École Polytechnique

13H50 - 14H30 : Heinz Otto Peitgen - University of Bremen and Florida Atlantic University,
THE MANDELBROT SET: REVITALIZING ITERATION THEORY AND POPULARIZING MATHEMATICS.

14H30 - 15H10 : Etienne Guyon, École supérieure de physique et chimie de
Paris, Laboratoire de Physique et Mécanique des Milieux Hétérogènes,
LE GRAND DESORDRE DE LA MATIERE

Les notions de géométrie fractale permettent d'éclairer les propriétés d'un grand nombre de systèmes physiques possédant un désordre à des échelles variées. Nous examinerons spécifiquement des matériaux dont les propriétés de connectivité peuvent être décrites à partir d'un modèle de percolation autour d'un seuil critique.
Au niveau fondamental, on peut caractériser les propriétés fractales de ces systèmes, en dessous d'une longueur caractéristique liée à la taille d'amas finis en dessous du seuil ou à l'amas infini au dessus, à partir des lois d'échelle qui rappellent celle de systèmes thermodynamiques critiques.

Nous utiliserons ces propriétés pour évoquer plusieurs problèmes physiques :

• Les propriétés de transport dans des matériaux conducteurs ou mécaniques faiblement connectés, en mettant en évidence la notion de marche au hasard sur un réseau fractal de percolation et celle de fractons.
• Les propriétés hydrodynamiques de matériaux poreux pénétrés par plusieurs phases fluides (phénomène de drainage) qui nous permettra d'analyser la structure d'un front d'invasion en fonction des conditions d'injection ; celle ci se révèle tout à fait analogue à la structure de fronts de diffusion.
• Les propriétés mécaniques d'empilements granulaires qui révèlent une large distribution de forces intergranulaires et l'existence de réseaux hétérogènes de lignes de force dont l'analyse se rapproche de phénomènes de percolation.

15H10 -15H50 : Bernard Castaing, École normale supérieure de Lyon,
LA TEMPERATURE D'UNE DISTRIBUTION INFINIMENT DIVISIBLE.

La turbulence est l'un des sujets où Benoît Mandelbrot a apporté un éclairage nouveau. Il a introduit l'idée de cascade de multiplicateurs pour passer d'une échelle de longueur à l'autre, et montré comment cela amène à une structure fractale pour le champ de vitesse. La distribution des logarithmes de multiplicateurs est infiniment divisible, le passage d'une échelle r0 à une plus petite rn pouvant se découper en autant d'étapes r1, r2,... que l'on veut. B. Mandelbrot a souligné que la statistique du champ de vitesse ressortissait plus de la théorie des grandes déviations, vis à vis de cette distribution, que du théorème de la limite centrale. Or la théorie des grandes déviations permet une lecture thermodynamique sur laquelle j'insisterai.

16H30 - 17H10 : TABLE RONDE animée par Philippe Boulanger (exdirecteur de « Pour la Science ») :

• Julien Barral, Université Paris 13,
• Karl Evertsz, Mevis Medical Solutions AG, Bremen,
• Michel Lapidus, University of California, Riverside,
• Jacques Peyrière, Université ParisSud.

17H10 - 17H50 : Murad Taqqu, Boston University,
AUTOSIMILARITE ET TRAITEMENT DU SIGNAL.

Le réseau internet paraît être approximativement autosimilaire dans un sens statistique. Cette découverte, faite il y a plus de vingt ans, a eu une grande importance dans le domaine des télécommunications. Le modèle qui explique la présence de l'autosimilarité est basé sur un modèle introduit par Benoît Mandelbrot dans le domaine de l'économie. Il fait intervenir, asymptotiquement, des modèles stochastiques, aujourd'hui classiques, comme le mouvement brownien fractionnaire et le mouvement stable de Lévy.

17H50 - 18H30 : Luciano Pietronero, ISCCNRand Univ. La Sapienza, Rome Italy,
FRACTAL COSMOLOGY.

One of the physical problems in which the introduction of Fractal Geometry has been most effective is the nature of the large scale structure of the universe. This is also one of the problems in which my interaction with Benoit was most interesting and fruitful. Since his pioneering work on the distribution of galaxies I was stimulated to go in detail in the matter and challenge the common wisdom in the field on the basis of a more general statistical analysis which could actually test for the first time the assumption of homogeneity at large scale. This led to the surprising result that the universe is essentially fractal at all scales (tested) and implies a fundamental revision of the basic concepts in the field. This led to two decades of passionate debates which are still very active today. See for example: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_cosmology I am most grateful to Benoit for having established the fundamental basis for this wonderful scientific adventure.

09H20 - 10H00 : Laurent Calvet, HEC Paris et National Bureau of Economic Research (USA),
RISQUE EXTREME ET REGULARITE FRACTALE EN FINANCE.

Comme nous le rappelle la crise qui a commencé en 2007, les marchés financiers sont caractérisés par des mouvements brutaux des prix des actifs, et de leur volatilité. Ces phénomènes sont difficiles à quantifier par les méthodes traditionnelles, qui considèrent le risque extrême comme un évènement rare et donc difficilement mesurable. Les méthodes multifractales, qui ont connu un grand essor en finance depuis une quinzaine d'années, permettent de détecter des invariances d'échelle dans les variations de prix observées à des horizons différents. Les modèles statistiques qui en découlent génèrent des prévisions
fiables de la "value at risk " (VaR) et volatilité d'un portefeuille de titres. Ils permettent également d'étudier de façon structurée l'impact sur le marché d'évènements plus extrêmes que ceux observés jusqu'à présent.

10H00 - 10H40 : Wendelin Werner, Université ParisSud XI,
DES FRACTALS PLANS ALEATOIRES PLUS NATURELS QUE D'AUTRES ?

J'essaierai de décrire un panorama de la recherche récente et en cours concernant les structures bidimensionnelles critiques, et j'essaierai d'expliquer en quoi une certaine classe de fractals ressemblant aux tamis de Sierpinski aléatoires est particulièrement naturelle et intéressante.

I will try to survey recent and ongoing research concerning critical twodimensional structures, and I shall try to explain why a certain class of random fractals of the Sierpinski-gasket type are particularly natural and interesting.

11H20 - 12H00 : Bernard Sapoval, Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique,
ARBORESCENCES FRACTALES ET ARBRES MAGIQUES DANS LA RESPIRATION DES MAMMIFERES.

Parmi les formes que Benoît Mandelbrot a éclairé du point de vue fractal, figurent les structures arborescentes qui nous sont familières. Elles existent dans le domaine inanimé, par exemple les bassins fluviaux, mais elles dominent le fonctionnement physiologique du monde animal ou végétal dès que ces objets dépassent la taille d'une cellule. Les structures arborescentes du réseau artériel et de l'arbre bronchique des mammifères en sont des illustrations. Nous discuterons comment leur géométrie, fractale, possède de façon concomitante plusieurs propriétés d'optimisation de fonctions différentes. C'est là
leur aspect « magique ». Ces propriétés sont : la capacité de distribuer des fluides dans un volume dans des conditions énergétiques très économiques, à travers un système lui-même de faible encombrement et enfin dans le temps le plus court possible. Ce dernier caractère est essentiel au caractère cyclique de la respiration des mammifères, à savoir: inspiration suivie d'expiration. Cette conjonction de propriétés optimales suggère qu'au cours de l'évolution, ce système arborescent ait pu être sélectionné pour l'une de ces propriétés, et être ensuite utilisé pour une autre.

Among the shapes on which Benoît Mandelbrot has shed the fractal light, are branched structures, like river basins, as well as many systems in the world of macroscopic living systems where they dominate the physiology as soon as they have a size larger that the cell size. The arterial and bronchial trees of mammals are familiar examples. We will discuss how their fractal geometry presents simultaneously several different optimal properties. This is what we call their « magic » aspect. These properties are first their ability to distribute a fluid in an entire space at low energetic cost through a system of small volume but also in a minimal time. This last character is important to understand the respiration of mammals made of successive inspiration expiration cycles. This reunion of different optimal properties suggests that, in the course of evolution, the system first selected for one of these optimal properties, may have been used later for an other property.

12H00 - 12H40 : Stephane Jaffard, Département de Mathématiques, Université ParisEst Créteil,
DES « CASCADES DE MANDELBROT » AUX OUTILS ACTUELS DE CLASSIFICATION MULTIFRACTALE : UNE PERSPECTIVE HISTORIQUE.

Sous l'impulsion initiale de N. Kolmogorov dans les années 1940, des exposants d'échelle ont été estimés, d'abord pour la vitesse d'écoulements turbulents, puis pour des signaux d'origines très diverses. Les modèles de cascades, construits pour être compatible avec ces observations, vont connaître des développements mathématiques très riches à partir des années 1970, grâce notamment à J.-P. Kahane, J. Peyrière et J. Barral. Au milieu des années 1980, U. Frisch et G. Parisi mettront en évidence un lien profond entre ces deux approches, créant ainsi un nouveau domaine scientifique : l'analyse multifractale. Nous retracerons cette évolution, en explicitant le rôle moteur que B. Mandelbrot a eu à de nombreuses étapes, puis nous l'illustrerons par quelques résultats spectaculaires de classification, basée sur des paramètres d'analyse multifractale, obtenus récemment par P. Abry et ses collaborateurs.

14H00 - 14H40 : Françoise Combes, Observatoire de Paris,
LES FRACTALES DANS LE MILIEU INTERSTELLAIRE ET DANS LES GRANDES STRUCTURES DE L'UNIVERS.

L'espace nous offre les fractales les plus complètes de l'Univers, avec une invariance d'échelle sur 9 ou 10 ordres de grandeurs en masse. Nous décrirons les processus physiques sousjacents, dominés par la gravité.

14H40 - 15H20 : Jens Feder, Physics of Geological Process, Université d'Oslo,
FRACTAL FLOW AND FRACTURE.

Benoit B. Mandelbrot has forever changed how we think about Nature. Our Earth is shaped by processes on all scales from the slow dissolution and regrowth of rock, to Earth-quakes and Volcanoes. The interplay between microscopic and macroscopic scales tends to generate fractal structures in space and time. Fractal flow patterns arise in fluid displacement in petroleum geology and reservoir engineering. Avalanches, and other burst processes exhibit a power-laws size distribution. Fractures are rough, that is they are selfaffine fractals. Stick-slip processes have joint distribution of slip magnitude and duration that are selfaffine fractal distribution. I will discuss illustrative examples of observations, laboratory experiments, and numerical modeling.

15H50 - 16H30 : MarcOlivier Coppens, Isermann Department of Chemical and Biological Engineering, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY 12180, U.S.A,
LA GEOMETRIE FRACTALE DE LA NATURE COMME SOURCE DE TECHNOLOGIES CHIMIQUES ET ENERGETIQUE DE HAUTE PERFORMANCE

Benoît Mandelbrot nous a appris à observer la nature par d'autres yeux. Il a développé un langage mathématique qui permet de décrire sa rugosité, ses cascades et ses réseaux arborescents. Par les yeux d'un ingénieur chimiste, qui fait face aux problèmes de durabilité (efficacité énergétique, ressources décroissantes, sélectivité de conversions chimiques, santé et environnement), cette géométrie fractale de la nature nous paraît non seulement belle, mais aussi très utile comme source d'idées pour la conception de solutions innovantes en technologies chimiques et énergétiques.
Par exemple, les réseaux fractals, comme les arbres botaniques, les poumons ou le cerveau, représentent un moyen très ingénieux de lier les échelles microscopiques et macroscopiques, d'une manière qui permet également l'adaptation en taille d'unités chimiques, et la distribution et rassemblement uniformes et robustes. Les matériaux à surface fractale permettent de contenir de très grandes surfaces dans un petit volume. En certains cas mêmes, ces structures fractales sont la solution qui permet d'atteindre le plus haut rendement thermodynamique. J'illustrerai l'application pratique de cette vision
fractale, basée sur des travaux théoriques et numériques, dans la conception et
construction de réacteurs chimiques, de cellules à combustible plus efficaces, et de nouveaux matériaux fonctionnels.

Benoit Mandelbrot taught us how to look at Nature with different eyes, and developed a mathematical language to capture its roughness and cascading, branching networks. Through the eyes of a chemical engineer, who is faced with issues related to sustainability - energy efficiency, dwindling resources, and efficiency in selective chemical conversions, health and environment - this fractal geometry of nature does not only appear beautiful, but also a very useful source of inspiration to the design of innovative solutions in chemical and energy technology.
For example, fractal networks, as in trees, lungs or the brain, are a
clever way to link microand macroscopic length scales, in a manner that allows scaleup, uniform and robust distribution and collection. They can provide solutions to pack huge, yet readily accessible surface areas within a small volume. In some cases, fractal structures are even thermodynamically the most efficient solution. I will illustrate how we can practically apply this fractal vision, supported by theoretical and computational work, in the design on highly performing chemical reactors, more efficient fuel cells, and novel
functional materials.

16H30 - 17H10 : Peter Jones,. Mathematics Department, Yale University,
PRODUCT FORMULAS FOR MEASURES AND APPLICATIONS TO ANALYSIS.

We will discuss elementary product formalisms for positivemeasures. These appeared in analysis for purposes of examining "harmonic measures" related to elliptic equations. We will discuss two topics where product formulas, namely SLE and Geometric measure theory. Most of the talk will be devoted to joint work with Marianna Csörnyei on the latter topic. The new result concerns Lebesgue measurable sets E of finite measure (in any dimension). The set E can be decomposed into a bounded number of sets with the property that each (sub)set has a nice "tangent cone". This yields strong results on Lipschitz functions. The main technical result needed is a d dimensional, measure theoretic version of (a geometric form of) the Erdös-Szekeres theorem, which holds when d = 2. In what is perhaps a small surprise, certain ideas from random measures can be used effectively in the deterministic setting.

A 17H10 : Conférence IBM : Mr JeanFrançois Puget, IBM Software Group Saint Raphaël,
LA RECHERCHE EN MATHEMATIQUES CHEZ IBM.